Soal matematika Diskrit dan jawaban

Soal.

1.       Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”.

a.                               Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.

        b.    Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.  

2.    Periksa apakah proposisi berikut merupakan tautologi:

“belajar mengakibatkan tidak pintar, adalah syarat cukup untuk tidak belajar, berlaku jika dan hanya

jika pintar atau tidak belajar”

3.       Diketahui A, B, dan C merupakan suatu himpunan. Jika diketahui (A ∩ B) = (A ∩ C), jelaskan apakah berarti bahwa selalu B = C? Berikan suatu counter example.

4.       Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas  untuk menentukan hasil dari operasi himpunan

b.      

c.       

5.  Misalkan R menyatakan relasi “2x/y adalah anggota bilangan bulat” dengan x dan y anggota bilangan riil selain nol.
Tentukan apakah relasi R:

a.  Refleksif

b.  Tolak-setangkup

c.  Menghantar

6.    Didefinisikan relasi R pada N dengan (x, y)Î R jika dan hanya jika x – y adalah kelipatan 5. Jelaskan apakah relasi tersebut merupakan relasi kesetaraan.

7.   Diketahui sebuah fungsi f : N®N yang memiliki sifat f(a + b) = bf(a) + af(b) + ab. Jika diketahui bahwa f(1) =1, tentukan f(11).

 

Jawablah pada halaman kosong di bawah ini dan halaman dibaliknya. Jiak tidak cukup gunakan kertas tambahan.

1.       Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”.

a.                               Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.

        b.    Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.  

Jawaban:

a.       Jika Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda mendapatkan satu kupon undian”

b.              Ingkaran:               

                       p ® q Û ~ p Ú q

~ ( p ® q) Û ~ (~p Ú q)                                                     

                   Û p Ù ~ q                                                           [Hukum de Morgan]

“Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,- dan Anda tidak mendapatkan satu kupon undian”

Konvers:                                                                                                                              

“Jika Anda mendapatkan satu kupon undian, maka Anda membeli dua produk Rp. 50.000,-”

Invers:                                                                                                                  

“Jika Anda tidak membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda tidak mendapatkan satu kupon undian”

Kontraposisi:                                                                                                                       

“Jika Anda tidak mendapatkan satu kupon undian, maka Anda tidak membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”

2.    Periksa apakah proposisi berikut merupakan tautologi:

“belajar mengakibatkan tidak pintar, adalah syarat cukup untuk tidak belajar, berlaku jika dan hanya

jika pintar atau tidak belajar”

Jawaban:

Misal p: pintar dan b: belajar

Proposisi pada soal dapat diubah menjadi  ((b→~p) →~b) Û (pÚ~b)

Selanjutnya, kita uji kebenarannya dengan tabel kebenaran

Terlihat bahwa proposisi ((b→~p) →~b) Û (pÚ~b) selalu benar, sehingga merupakan suatu tautologi.

3.       Diketahui A, B, dan C merupakan suatu himpunan. Jika diketahui (A ∩ B) = (A ∩ C), jelaskan apakah berarti bahwa selalu B = C? Berikan suatu counter example.

Jawaban:

Tidak selalu, salah satu counter examplenya yaitu misalkan B merupakan himpunan bagian dari C dan C – B ≠ {}.

4.       Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas  untuk menentukan hasil dari operasi himpunan

a.        

b.      

Jawaban:

a.                                                            

  =                              [Hukum Asosiatif]

=                                                       [Hukum Distributif]

=                                                                                 [Hukum Komplemen]

=                                                                                              [Hukum Distributif]

=                                                                                                           [Hukum Komplemen]

=                                                                                                                     [Hukum Idempoten]

b.                                                            

=                                                                                                     [Hukum Dualitas dari jawaban a]

5. Misalkan R menyatakan relasi “2x/y adalah anggota bilangan bulat” dengan x dan y anggota bilangan riil selain nol.
Tentukan apakah relasi R:

a.  Refleksif

b.  Tolak-setangkup

c.  Menghantar

Jawaban:

a.       Untuk setiap x=y=a berlaku 2x/y = 2a/a = 2 à bilangan bulat

\R refleksif karena (a,a) Î R

b.       Ambil x=a dan y=2a, kita dapatkan 2x/y = 2a/2a = 1 à bilangan bulat

Ambil x=2a dan y=a, kita dapatkan 2x/y = 4a/a = 4 à bilangan bulat

\R tidak tolak-setangkup karena terdapat bilangan x dan y dengan x≠y tetapi (x,y) Î R dan (y,x) Î R

c.        Pilih suatu x, y, z dengan ketentuan, 2x/y dan 2y/z adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kita miliki (x,y) Î R dan (y,z) Î R

Selanjutnya kita periksa (x,z):

2x/z = 2x/y . y/z = ½ (2x/y).(2y/z) = ½ (suatu bil. ganjil).(suatu bil. ganjil) à bukan bilangan bulat

 \R tidak menghantar karena terdapat suatu x, y, dan z sehingga (x,y) Î R dan (y,z) Î R tetapi (x,z) ÏR

6.    Didefinisikan relasi R pada N dengan (x, y)Î R jika dan hanya jika x – y adalah kelipatan 5. Jelaskan apakah relasi tersebut merupakan relasi kesetaraan.

Jawaban:

Suatu relasi merupakan relasi kesetaraan jika ia refleksif, setangkup dan menghantar.

·         Relasi tersebut jelas merupakan relasi refleksif, karena untuk setiap a pada N maka 5|a-a atau 5|0. Sehingga untuk setiap a berlaku (a,a) Î R.

·         Relasi tersebut merupakan relasi setangkup, karena jika (a,b) Î R maka (b,a) Î R juga. Hal ini dapat diketahui dari, misalkan 5|(a-b), maka kita juga dapat menyimpulkan bahwa 5|-(a-b) atau dalam kata lain 5|(b-a).

·         Relasi tersebut merupakan relasi menghantar, karena jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R maka (a,c) Î R. Hal ini dapat diketahui dari :

Misalkan a-b=5m, dan b-c = 5n, dengan m,n Î N, maka dengan mengurangi kedua persamaan tersebut diperoleh a-c=5m-5n  a-c = 5(m-n) atau dalam kata lain 5|a-c. Sehingga (a,c) juga terdapat pada relasi R

                     karena relasi tersebut memenuhi ketiga syarat diatas, maka relasi tersebut merupakan relasi kesetaraan.

7.   Diketahui sebuah fungsi f : N®N yang memiliki sifat f(a + b) = bf(a) + af(b) + ab. Jika diketahui bahwa f(1) =1, tentukan f(11).

Jawaban:

Jadi,

.